ROZWIĄZANIE

Ciąg arytmetyczny

3x²-7x, x³-3x-1, 3x-2 – trzy pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego rosnącego

 

Korzystamy wzoru na kolejny wyraz ciągu arytmetycznego: an=(an-1+a n+1)/2

 

2(x³-3x-1)= 3x²-7x+3x-2

2x³-6x-2=3x²-4x-2

2x³-6x-2-3x²+4x+2=0

2x³-3x²-2x=0

x(2x²-3x-2)=0   Δ=9+16=25 √∆=5

x1=0                     x2 = (3-5)/2            x3= (3+5)/2          

                             x2 = -½                    x3 = 2

 

 

a1 = 3x²-7x, a2 = x³-3x-1, a3 = 3x-2

 

(1) Dla x1=0                     

a1 = 0, a2 = -1, a3 = -2, r = -1<0 ciąg jest malejący

 

(2) Dla  x2 = -½   

a1 = 4¼, a2 = ⅜,  a3 = -3½, r <0 ciąg jest malejący

 

(3)Dla x3 = 2

a1 = -2, a2 = 1,  a3 = 4, r=3 >0 ciąg jest rosnący

 

Korzystamy ze  wzoru: an= a1+(n-1)∙r

a15 = -2+14∙3=-2+42=40

a5 = -2+4∙3=10

 

Z warunków zadania wynika że: a15 = b1 = 40 i a5 = b3 =10

 

Ciąg geometryczny

Korzystamy ze wzoru na kolejny wyraz ciągu geometrycznego

b3 = b1 ∙q²=40 q²

40 q²=10 / 40

q²=¼

q = -½  lub q=½

 

Korzystamy ze wzoru na sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

(1) Dla b1 = 40 i q = -½ 

S= b1 / (1-q) = 26⅔

 

(2) Dla b1 = 40 i q = ½ 

S= b1 / (1-q) = 80